数学开放题及其在中考试题中的类型探讨

时间:2018-03-17 论文范文 我要投稿

        数学开放题是数学教学中的一种新题型.它的核心是培养学生的创新意识和创造能力.而这正是新的教育理念的体现,也是近年来中考的热点题型.所以有必要加强对数学开放题的研究.
数学开放题的概念
        什么是数学开放题?对此问题的认识,可谓仁者见仁,智者见智.学术界还没有统一的定义.从查阅文献资料看,数学开放题又叫数学开放性题或数学开放型题.有关开放题的含义,一些学者作过这样的论述:
        1.答案不确定的问题称为数学开放题.
        2.条件不完备,结论不确定的数学问题称为数学开放题.
        3.数学开放题是指条件开放(条件在不断变化)、结论开放(多结论或无结论)、策略开放(可以采用多种方法和途径去解决)的问题.
        从以上论述可以看出,数学开放题有两个明显的特征:一是条件开放,即数学开放题的条件要么是不足,需要进行探索和补充.要么多余,需要进行多种选择;二是结论开放,即数学开放题要么没有明确的结论,要么有太多的结论.至于策略开放有不同的论点.有人认为:数学开放题的解题策略多种多样,方法灵活多变.又有人认为:既然条件和结论是开放的,那么必将有多种多样的解题策略,再者,有的封闭题也有多种多样的解题策略,不只开放题有,所以它不能看作是开放题的基本特征.笔者认为:两个“多种多样”的内涵是不同的.所以更同意前者的论点.
        学开放题的基本形式
        1.条件开放题
        称没有确定已知条件的开放题为条件开放题.一般来说,条件开放题的答案包括:将所缺的条件补充完整,根据自己所给的条件构成数学真命题,做出解答两部分.有时此类开放题的答案只要求解答者补充完整所缺条件,构成数学真命题.由解答者构造所需条件的做法,有利于解答者自主选择展示自己水平的途径与方法,同时也使得条件开放题具有多起点可求解的特点.
        例1(陕西省) 已知ΔABC内接于⊙O.
        ⑴当点O与AB有怎样的位置关系时,∠ACB是直角;
        ⑵在满足⑴的条件下,过点C作直线交AB与D,当CD与AB有什么样的关系时,
ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD;
        ⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形,使图形中的CD=2cm.
        评析:此题的第⑴、⑵小题是一道条件开放性问题,可考查学生的逆向思维能力.
        2.结论开放题
        称没有确定结果的数学开放题为结论开放题.一般来说,结论开放题的答案包括:将所缺结果补充完整构成数学真命题,做出完整解答两部分;有时也只要求完成前一部分.结论开放题具有反映不同思维深度的优点,同样有利于解答者选择展示自己水平的途径与方法.
         例2(湖北黄冈)已知:如图1,ΔABC中,AB=AC=10,BC=12,F为BC的中点,D是FC上的一点,过D作BC的垂线交AC于G,交BA的延长线于点E,如果设DC=x,则
         ⑴图1中哪些线段(如线段BD可记作yBD)可以看成是x的函数(如yBD=12-x(0<x<6),yFD=6-x(0<x<6).请再写出其中的四个函数关系式: 
         
         ⑵图1中哪些图形的面积(如ΔCDG的面积可记作SΔCDG)
        可以看成是x的函数(如SΔCDG=2/3X2(0<x<6) .
        请再写出其中的两个函数关系式:①        ;②               .
            评析:这是一道立意很新的几何知识与函数知识综合的结论开放题,可考查学生的发散思维能力、分类讨论能力和创新能力,是当前非常新颖的热点题型.
            3.条件和结论同时开放题
            称既没有确定条件有没有确定结果的开放题为条件和结论开放题.一般来说条件和结论开放题的答案包括:将所缺条件和结论补充完整构成数学真命题,并做出完整的解答这样两部分.有时也只要求做出前一部分.条件和结论开放题具有反映思维灵活性、思维层次性与思维深刻性及试题情景公平的优点,同样利于解答者自主选择展示自己水平的途径与方式. 

           例3(日本一女教师在一堂开放式课上讲的一个例题):请你在一块长4m 宽3m的矩形土地上设计一个花圃,使其面积是原面积的一半.(好的设计以学生的名字命名)
            评析:这种条件和结论开放题由于其自身的开放性,不再是条件确定,方法唯一,答案固定.它吸引学生不依赖于教师和书本,采用不同的方法独立地探索和发现问题的各种各样的答案.使学生由知识的被动接受者,转变为知识的主动探索者,保障了学生的主体地位,从而有利于学生自主意识和独立人格的形成,为培养学生的创新精神奠定基础. 
            数学开放题基本形式的这几种分类,是相对的,是从一个层面出发的,而不是绝对的.
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