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小议用图像法解方法
一、由一道中考数学题引起的思考有这样一道中考试题：
利用图像解一元二次方程x -2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图像交点的横坐标就是该方程的解．
(1)请再给出一种利用图像求方程x2-2x-1=0的解的方法．
(2)已知函数y=x 的图像(如图)：求方程x -x-2=0的解．(结果保留2个有效数字)
这是一道新课程初中数学利用函数图像求方程的近似解，主要考查学生运用数形结合思想综合解决问题的能力．该题的设计非常有创意和开放性，以全新的方式考查学生的估算能力和解题策略，体现了新课程的理念，特别注重解决问题的策略，突出地体现了对问题的类比与探索意识，如果死记硬背知识点是难以解决的．从中考统计结果看，该题得分率相当低，尤其是第（2）小题．学生对出题的意图理解不够，把得出方程的解看成最终目的，忽视了考查解题过程才是题目的初衷．这都说明学生解题的策略、方法掌握不够，造成思路单一，解法不活．究其原因，主要是目前初中数学教学对数形结合解决问题不够重视，许多教师对数形结合思想认识肤浅，解决问题方法比较单一，如仅限于教材的一些材料，缺少必要的渗透和引领，使学生不会通过所学多角度地思考问题．所以有必要对当前初中数学数形结合教学的现状作分析，以引起数学教师的反思．
二、对当前用图像法解方程的教学现状的分析
新人教版教材在八年级下、九年级下学习一次函数、二次函数时都对利用函数图像估算有一些具体的体现与落实，如
（3）利用函数图像解不等式：5x-1﹥2x+5
（2）利用函数图像求方程x -2x-2=0的实数根（精确到0.1）．
教材的目的是让学生亲历自主探索、动手操作、合情推理来理解方程、不等式、函数的互相关系，渗透了类比、化归、数形结合的数学思想，从而考查学生的数学综合应用能力．但根据笔者的调查，该内容的实际教学情况却不尽如人意．有的由于教师对于画图标准没有明确的要求，学生画图的准确性差异很大，导致给出的答案误差较大；有的教师看到学生花费的时间太长，影响课堂教学进度，就没等学生完成匆匆一对答案了之；有的比较机灵的学生则先直接解得方程（组）的解，然后再画图，使问题只成为没有意义的问题． 造成以上情况的原因是教材选材上受知识范围所束缚,选取的是一元一次方程组和一元二次方程（组）．这些方程学生都已掌握了成熟、准确的代数解法，再来探索利用图像的近似求解法，就不能真正体现图像法的优势，于是就出现了先用代数法解方程再在图像上描近似点的倒置现象，数形结合解决问题完全成了一种作秀，显得比较勉强，以致一些教师、学生都认为这类问题缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，对图像发解决问题所得结果的合理性与准确性缺乏足够的认识．再加上学生没有体会到图像法的应用价值，因此大部分学生运用“数形结合法”的意识比较薄弱．而且作图很繁琐，便不太接受这种方法，所以课堂教学效果不是很好，不能真正体现数形结合实用价值．教师也很难把握估算教学的尺度，尤其对过程和方法较难控制，我认为这应该是教材的一个不足之处．
以上试题将课程标准“加强数形结合思想培养”这一要求很好地落到实处,充分发挥评价的导向作用，弥补了教材的不足．试题采用了三次函数，就避开了学生可以用已有的代数法解方程的知识，并提供函数图像，避免超出初中阶段的知识范围，很好地考查了学生对“经历用观察、画图手段估计方程解”方法的掌握情况．该题除了体现图像法本身在数学知识体系和数学思想方法上的重大价值外，也会对准确理解、把握《课程标准》中的数形结合教学起到良好的导向作用．
三、提高认识，加强数形结合解决问题能力的培养
数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“形”与“数”两个方面.“形”与“数”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系.在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图像、方程与曲线建立起一一对应的关系，使得数量关系的研究可以转化为图形性质的研究；反之，也可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究.这种数学问题过程中“形”与“数”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．
数形结合能力是一种比较特殊的能力，它可以使我们把抽象的数据之间的关系转化为直观的图形性质，在解决一些日常实际问题和检验计算结果合理性时特别有用，它比复杂的笔算更有价值，同时对于培养学生的数学意识，发展学生的思维能力很有帮助．通过数形结合的教学可以逐步提高学生解决问题的能力，有效改善学生的数学思维品质，发展学生的数与形的感觉，形成良好的认知结构和知识结构．数形结合教学的主要目的不在于获得问题的结果，而是使学生通过经历解决问题的过程学会用数形结合方法和数学的观点认识客观世界的规律．所以数形结合能力在学生的学习和生活中都有着十分广泛的应用，教师应逐步培养学生的这种意识和技能，提高学生的数学素养．
基于数形结合的现实意义，《数学课程标准》提出了让学生从“数”到“形”和从“形”到“数”之间的合理转化的教学要求，将数形结合能力作为一条重要的课程标准．能使学生经历用观察、画图或计算等手段估计方程解的过程；根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解；用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
例如：图像求方程x -2x-2=0的实数根．问题不仅仅在于求解，更重要的是让学生能直观地探究方程的性质，并用观察、画图或计算器等手段估计方程的解．如果直接解方程，就会使学生看不到方程与函数、数据与图像的密切联系，思维的发展就不会很全面．用函数的图像来估计方程的解看似繁琐，但切不可因此而忽视，不能只是一味要求培养计算精确答案的技能，所以教师要舍得花时间，让学生充分体验，真正了解数相结合的思想方法和价值．
所以我们教师要更新教育观念，大力增强数形结合意识的培养．教师要提高数形结合教学对于促进学生形成良好数感重要性的认识，尤其要加强方法指导．根据函数的图像求方程（组）的近似解；用计算机作图（如几何画板）观察估计方程（组）的近似解等．这些方法要有机结合，渗透于学生平时的练习与实践中，潜移默化地让学生积累和运用数形结合的思想、技能、技巧，提高解决问题的能力．
教师应善于创造性地使用教材，充分挖掘教学资源，尤其是结合学生的生活和实践开展生动活泼、富有意义的估算教学，在多样化的选择中使他们体会到数形结合的必要性和优越性，将这种能力内化为一种自觉，自主的意识，进而形成一种习惯．
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