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前部弓形形态与其牙弓深度的关系
【摘要】 目的 探讨前部牙弓形态对牙弓深度的可能影响。方法 把牙弓弓形分为圆形、椭圆形、抛物线形、双曲线形、悬链形5种形态，建立数学模型，编程计算在尖牙间宽度、前牙弓弧长一定时，不同弓形的上下前牙弓的深度差值是否有差异。结果 采用不同形态的前部牙弓计算所得上下前牙弓之间深度的差值是不同的。牙弓深度的差值按从大到小的顺序排列为：椭圆形、圆形、抛物线形、悬链形、双曲线形。结论 采用不同形态的前部弓形将在一定程度上影响最终的关系。
【关键词】 牙弓形态 咬合 数学模型
［ABSTRACT］ObjectiveTo investigate the possible influence of the form of anterior dental arch on its dept.MethodsThe arch forms were divided into five categories, i.e., round, oval, parabola, hyperbola, and catenuliform. A mathematic model was established to calculate the difference of the dept of various anterior upper and lower dental arch when the width between canine teeth and the length of dental arch were fixed.ResultsThe difference values calculated were various with the arch form, the sequence was oval, round, parabola, catenuliform, and hyperbola from big difference to small.ConclusionDifferent arch form will finally affect the occlusion in certain extent.
［KEY WORDS］arch form; occlusion; mathematic model
大量的研究者不断尝试确定前部牙“最佳”弓形，所得结果把人类牙弓形态描述为各种几何图形与数学函数，例如抛物线形、椭圆形、悬链形等几何图形，Beta函数、the Fourier Series、多曲余弦函数、the Cubic Spline Function等各种复杂数学函数[1～3]。这些几何图形与数学函数反映的人类牙弓形态差异相当大，且均认为各自获得的弓形最能准确反映人类牙弓的形态。但FELTON等[4]研究显示，已商品化的17种弓形形态存在明显差异。此外，不同种族、不同错类型牙弓的形态也存在差别，同时牙弓的形态无论经历自然生长还是正畸治疗（包括拔牙与非拔牙）均要发生一定程度的变化[5～7]。由于牙弓前部曲度最大，所以牙弓形态之间的不同主要表现于前部弓形。虽然各种研究得出的人类牙弓的几何形态很多，彼此之间差异很大，但弓形的形态对最终良好关系建立的影响在国内外未见报道。本研究选用圆形、椭圆形、抛物线形、双曲线形、悬链形来代表上下前部弓形的形态，通过与北京交通大学合作建立数学模型，研究在上下前部弓形的弧长、上下尖牙间宽度恒定不变的条件下，上述不同的牙弓形态下上下牙弓深度的差值是否不同。评估不同形态的前部弓形对前牙弓深度的影响，以及对最终良好关系建立的可能影响。
1 资料和方法
1.1 数学模型的建立
数学模型确定的上下弓形由牙齿邻面接触点所形成，在牙列排列整齐时，牙量与弧长一致，由上、下颌6个前牙牙冠的宽度之和确定上下弓形的弧长。使用圆形、椭圆形、抛物线形、双曲线形、悬链形的一部分来代表上下前部牙弓的形状。椭圆形与双曲线形弓形需要确定其偏心率（e）。根据MUTINELLI等[8]把弓形定义为椭圆的研究，确定椭圆e=0.78；根据DE LACRUZ等[9]把弓形定义为双曲线的研究，确定双曲线e=1.058。上下弓形之间的间距由牙齿邻面接触点连线所形成的弓形在上下中切牙近中接触点之间的水平距离确定。建立Cartesian坐标轴系统，把不同形态的弓形转移到其坐标轴中，建立数学模型，推导数学公式。圆形：L=2πR 或x2+y2=r2；抛物线：x2=-2py或x=ay2+by+c;椭圆形：x2/a2+y2/b2=1；双曲线形：(x2/a2)-(y2/b2)=1;悬链形:y=(ex+e-x)/2 或y=acoshp(x/a)。
1.2 计算机编程计算
每种不同形态的弓形上颌弧长之间，下颌弧长之间以及上尖牙间，下尖牙之间的宽度均相等。上颌前牙量为a，下颌前牙量为b，上下弓形间距为d，w1表示左右下尖牙与下颌第一前磨牙邻面接触点间宽度的一半，w2表示左右上尖牙与上颌第一前磨牙邻面接触点间宽度的一半。利用数学公式与计算机编程求得在此条件下各种弓形的上下颌前部牙弓深度差值，比较它们之间差异是否有显著性。
用精确度为0.01 mm，示值误差为0.03 mm的电子数显卡尺（上海量具刃具厂生产）测量一理想模型，其a=45.75 mm，b=35.50 mm，w2=18.85 mm，w1=15.50 mm，上颌前牙弓深度为12.48 mm。根据各种弓形推导的数学公式与计算机程序计算d分别为1.0、1.5、2.0 mm时，不同的前部弓形所对应的上下颌前部牙弓深度的差值。
2 结 果
在上下前牙量、上下尖牙间宽度不变的条件下，采用不同形态的前部牙弓时上下前牙弓之间深度的差值是不同的。牙弓深度的差值按从大到小的顺序排列为：椭圆形、圆形、抛物线形、悬链形、双曲线形。其中上下弓形为椭圆形时深度的差值最大，在d=1.0 mm时，差值为3.87 mm；采用双曲线形时深度的差值最小，在d=1.0 mm时，差值为2.20 mm，二者相差1.67 mm。见表1。表1 不同前部弓形上下颌前牙弓深度的差值
3 讨 论
人类理想弓形的形态差异很大，由于牙弓曲度主要位于前部，所以前部弓形的形态表现出更明显的多样性。对同一病人来说，不同正畸医生使用的弓形在形态方面必定存在差异，特别在正畸精细调整阶段，此时牙齿已排列整齐，研究牙弓形态不同对最终良好关系建立的影响具有重要的临床意义。
本研究人为地把前部牙弓形态用圆形、椭圆形、抛物线形、悬链形及双曲线形的一部分来表示，建立数学模型。在设定正常模型的上下颌尖牙间宽度不变、上下前牙量不变前提下，通过研究使用不同的弓形后，其上下前部弓形的深度差值是否有差别来说明牙弓的形态对颌间咬合关系的影响。结果显示，采用不同的牙弓形态的确能造成上下牙弓深度差值的不同。由于前部弓形较短，所以差值表现较小，如果把此研究运用于全牙弓，则差值可能较大。
在数学模型上，上下前牙弓深度差值的不同表现为不同的弓形上下尖牙的矢向位置关系存在不同，而临床实践中则表现为前牙的覆盖不同。在精细调整阶段，对病人来说，上下牙列已排列整齐，前牙弓弧长等于前牙量，保持不变，在上下尖牙间宽度不变时采用不同的弓形将在一定程度上影响前牙的覆盖。本研究结果显示，选择椭圆形弓形所产生的覆盖要比使用双曲线形大1.67 mm。
人类牙弓的大小、形态受遗传与环境因素的影响，出生后环境因素的影响尤为明显，致人类牙弓的大小与形态因增龄性变化而表现出多样性。本文结果提示，由于人类牙弓形态在一定程度上影响咬合关系，弓形的变化与关系的变化相伴随，所以在临床正畸精细调整阶段可根据咬合的具体情况来调整前部弓形的形态。
本研究结果应用时需要注意以下几个问题：①本研究是通过量化来说明一个定性的问题，所得的具体数值与建立的坐标系及选择的标准模型的测量数值有关。当模型的测量数值改变后则获得的前牙弓深度的差值大小也将发生改变，但大小趋势不会改变，即各种弓形所得的上下颌前部弓形深度差值的具体数值仅反映了相互之间的变化趋势，具体数值大小无确切的临床意义。本研究结果与MUTINELLI等[8]的结果相似。②仅是从理论上得出牙弓形态的不同将在一定程度上影响关系，在临床实践中影响关系的因素很多，咬合状况是众多因素相互作用的结果，牙弓形态的影响可能综合于其他因素的影响效果之中。③本研究使用的牙弓形态与临床上病人的真实牙弓形态可能存在较大差异，本研究只是使用上述弓形来说明一个定性问题，在临床中应尽量使用与病人初始牙弓形态相一致的弓形，以预防复发等不良后果。
治疗后的弓形不仅与美观功能有关，而且对矫治效果的长期稳定也很重要，本文利用数学模型说明了牙弓形态与咬合状态存在一定的联系。
【参考文献】
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[4]FELTON J M, SINCLAIR P M, JONES D L, et al. A computerized analysis of the shape and stability of mandibular arch form [J]. Am J Orthod Dentofacial Orthop, 1987,92(6):478?483.
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