构造函数法在解题中的应用

时间:2017-05-31 论文范文 我要投稿

摘要:函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。
关键词:函数思想;构造函数;不等式;方程;应用
        函数思想,指运用函数的概念和性质,通过类比联想转化合理地构造函数,然后去分析、研究问题,转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数量特征,建立函数关系。
        函数思想在数学应用中占有重要的地位,应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中,而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。
        根据需要,构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法,这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,用函数的观点加以分析,常可使问题变得明了,从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此,如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系,有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。
        一、构造函数解决有关不等式的问题
        有些不等式证明和比较大小的问题,如能根据其结构特征,构造相应的函数,从函数的单调性或有界性等角度入手,去分析推理,证明过程就会简洁又明快。
        例1:若  ,则 的大小关系是        。
        分析:式中各项的结构相同,只是字母不同,故可构造函数 进行判断。
        解:构造函数 ,易证函数  在其区间 是单调递增函数。
        例2(2008年山东理):已知函数 其中  为常数。当 时,证明:对任意的正整数 ,当 时,有 
        证法一:因为 ,所以 。
        当 为偶数时,令   则 ( )所以  当 时, 单调递增。又 ,因此 恒成立,所以   成立。当 为奇数时,要证 ,由于 ,所以只需证 ,令 ,则 ( ),所以,当 时, 单调递增,又 ,所以当 时,恒有 ,即 命题成立。
        综上所述,结论成立。
        证法二:当 时, ,当 时,对任意的正整数 ,恒有 ,故只需证明 。令    则   ,当 时, ,故 在 上单调递增,因此  当 时, ,即 成立。故  当 时,有 ,即   。
        试题分析:第二问需要对构造的新函数 进行“常规处理”,即先证单调性,然后求最值,最后作出判断。
        评注:函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理,使之成为一个系统,在具体运用时自如流畅,既要具有一定的思维定向,也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟,通过对不等式结构特征的分析,来构造函数模型,常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高,不能有效转化是解题难以突破的主要原因,要善于构造函数证明不等式,从而体现导数的工具性。
        二、构造函数解决数列中的有关问题
        数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系.
        例3:在等差数列中,已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,  求 Sp+q 的值。   
        略解:因为  是n的一次函数,点( n ,  ) 共线,所以点 (p ,   ) ,   ( q  ,   )   ,  ( p + q ,    )  共线, 则有        化简即得   Sp+q  = -( p + q ) 。
        例4:等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大?
        简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。
        解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。
故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中,  当 为偶数时,  时,  最大当 为奇数时,  时,  最大。
        三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题
        方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域,或直接构造函数。
        例5(2010上海文科数学):若 是方程式 的解,则 属于区间()       
        A. (0,1)  B.(1,1.25)  C.(1.25,1.75)  D.(1.75,2)
        解析: 
        知 属于区间(1.75,2)
        例6(2010天津文科数学):设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立,则实数m的取值范围是________。答案:m<-1

        解析:本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。
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