基于Matlab环境优化Taylor中值定理教学
x=-pi:0.1:pi;
y3= sin(x);
y4=x-x.^3/6+x.^5/120;
plot(x, y3,x,y4,)
在Matlab环境中的演示过程,验证了学生的猜想。
图3 exp(x),1+x+x2/2+x3/3
图4 sin x,x-x3/6+x5/120
2.3 结论验证
通过课堂讲授、动手验证,学生对taylor中值定理
ex=?nk=0xkk!+o(xn) 和 sin x=?nk=0(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+o(x2n)
有了直观形象的认识。从逻辑思维角度,可视化环境为学生理解Taylor中值定理提供了感性材料;从方法论角度,学生学习了把复杂问题转换为近似简单形式的处理方法,为学生学习幂级数和Fourier级数以及在医药学、经济学、工程学等领域中的应用奠定了基础。
大学生已经具备英语基础,可以使用稍加深入的Matlab简单程序更好地解决问题,如依次使用不同线型、颜色、动态性等特点在同一坐标系中展示多个图像(如图5)。参考名为taylor.m程序如下:
x=-2*pi:pi/10:2*pi;i=1:13;m=1:13;
n(i)=factorial(m(i));y1=x-x.^3/6;
y2=x-x.^3/6+x.^5/n(5);
y3=y2-x.^7/n(7);y4=y3+x.^9/n(9);
y6=y4-x.^11/n(11)+x.^13/n(13);
plot(x, sin(x),'k','linewidth',2)
axis([-2*pi 2*pi -2 2]);axis equal, gtext('sin(x)');pause
hold on
plot(x, x,'--'),gtext('n=1'),pause
plot(x, y1,'g-.'),gtext('n=2'),pause
plot(x, y2,'-.'),gtext('n=3'),pause
plot(x, y3,'r'),gtext('n=4'),pause
plot(x, y4,'b'),gtext('n=5'),pause
plot(x, y6,'m','linewidth',3),
gtext('n=7'),pause
legend('sinx','y1','y2','y3','y4','y6','Location','NorthEastOutside')
hold off
图5 sin x及其1、2、3、4、5、7阶Taylor公式图形
在Matlab7.01环境中,只需输入程序名Taylor,然后回车即可。
当自然数m和i的值增大时,在Matlab7.01界面中,得到的Taylor中值定理左端函数f(x)和右端多项式函数pn(x)部分的图像,随着多项式次数的增高,两部分的图像会在更大的范围吻合的很好,即误差相对越来越小,学生的猜想和Taylor中值定理的局部逼近思想得到了直观验证。
3 结束语
以上内容是Taylor中值定理的主要内容和基本精神。文中的Matlab语句通俗易懂,只需对语句中的'参数稍加修改,就可以在数学实验室或机房上机实验、验证教材或参考资料中的结论和自己的猜想,也可以更精确、更大范围地验证其它函数的Taylor中值定理的正确性。Matlab学习环境生动、直观形象、神形具备,既达到了数学教学的目的和要求,也激发了学生进行简单编程的兴趣,实现了数学与计算机和英语学教学的横向联系,促进了双语教学,实现教育技术与计算机技术的结合。
Matlab在数学建模中也起到了举足轻重的作用。高等院校数学教师,只有对数学专用软件,如Matlab7.01、Maple7以及Mathematics等有较深的理解和掌握,才能实现真正意义上的多媒体教学,实现传统教学模式向现代教学模式的转变。
【参考文献】
1 同济大学数学系,主编.高等数学.北京:高等教育出版社,2006:119~120.
2 陈杰.Matlab宝典.北京:电子工业出版社,2007 .
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