发掘不等关系解等式问题的教育论文
相等和不等是一对既对立又统一的矛盾，它们在一定条件下可以互相转化.数学中的一些相等问题，如求值、等式证明、解方程(组)等，若直接求解有困难，不妨从相等的条件中发拙不等关系，以不等为突破口，往往能使问题获得巧妙的解法.兹举例说明.
一、从二次根式中发掘不等式关系
对于含有二次根式的等式问题，首先要考虑二次根式的被开方数非负，由此建立不等关系.
例1 已知y=x2-25x-4-x2-24-5x+2,则x2+y2= .(2000年重庆市初中数学竞赛试题)
解析：本题若直接代入求解，则难以奏效，由二次根式的被开方数非负得x2-25x-4≥0且x2-24-5x≥0，由此可得x2-2=0即x2=2进而可得y=2，从而x2+y2=2+22=6.
评注：不等关系的发掘是解决本题的关键.
例2 设等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x2+xy-y2x2-xy+y2的值为 .(1991年全国初中数学竞赛试题)
解析：已知式有3个字母，关系较为复杂，x、y的关系不易求得，可由二次根式的被开方数非负建立不等关系寻求突破口.由a(x-a)≥0,
a(y-x)≥0,
x-a≥0,
a-y≥0可得a≥0,
a≤0,则a=0，代入已知式得x--y=0，则x=-y，故原式=3y2-y2-y2y2+y2+y2=13.
二、从整数中发掘不等关系
对涉及方程有整数根的问题，可利用整数的性质发掘不等关系.
例3 求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整数根.(1990年上海市初中数学竞赛试题)
解析：本题若直接去分母，将得到一个难解的高次方程，注意到原方程的特点，由x是正整数得1x>1x+1>1x+2，则由原方程得9x+2<13360<9x，即28133 例4 若a、b、c是非负整数，且29a+30b+31c=336，则a+b+c=().(2006年江苏省数学竞赛试题)
獳.10 獴.12 獵.14 獶.16
解析：已知式中a、b、c的系数逐一增大，而待求式中a、b、c的系数相等，为此考虑对已知式中a、b、c的系数进行 调整，由a、b、c是非负整数可得不等式29(a+b+c)≤29a+30b+31c≤31(a+b+c),即29(a+b+c)≤336≤31(a+b+c).由此得112531≤a+b+c≤121829.又由a、b、c是非负整数得a+b+c=12,故选B.
例5 求所有正整数a、b、c，使得关于x的方程x2-3ax+2b=0，①
x2-3bx+2c=0,②
x2-3cx+2a=0③的所有根都是正整数.(2000年全国初中数学竞赛试题)
解析：首先考虑方程①.设它的两个正整数根分别为x1、x2，则有恒等式x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2).由于x1≥1且x2≥1，在上式中取x=1，得不等式1-3a+2b=(1-x1)(1-x2)≥0，即1+2b≥3a.同理由②、③可得1+2c≥3b,1+2a≥3c.三式相加得3≥a+b+c，又由a、b、c为正整数可得a=b=c=1.
三、在一元二次方程中发掘不等关系
对于方程的个数少于未知元的个数的解方程(组)问题，可考虑构造一元二次方程，由方程有实数根时其判别式△≥0寻求突破.构造一元二次方程的方法有选择主元构造和由韦达定理构造两种.
例6 实数x、y满足(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=43，则x+y= .(2001年全国初中数学联赛武汉赛区选拔赛试题)
解析：选择y为主元，设x2+2x+3=t，把原方程整理成关于y的一元二次方程3ty2+2ty+t-43=0.由y为实数得△=(2t)2-4×3t(t-43)≥0，解得0≤t≤2,即0≤x2+2x+3≤2，由此可解得x=-1，代入原方程得3y2+2y+1=23，解得y=-13，所以x+y=-43.
例7 求方程组x+y=2 xy-z2=1的实数根.(1997年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)
解析：由原方程组得x+y=2,xy=z2+1，则x、y为一元二次方程t2-2t+(z2+1)=0的.两实根.由△=(-2)2-4(z2+1)=-4z2≥0，得z2≤0，从而z=0.代入原方程得x=1,y=1.故原方程组的实数解为(1，1，0).
四、从a2、b2、2ab中发掘不等关系
由(a-b)2≥0得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.在已知等式中发掘上述不等关系，再利用不等式等号成立的条件解(证)等式问题.
例8 已知实数a、b满足a1-b2+b1-a2=1，求证a2+b2=1.(第二届“希望杯 ”数学邀请赛试题)
解析：由a1-b2、b1-a2发掘不等关系：a2+(1-b2)2≥2a1-b2,b2+(1-a2)2≥2b1-a2，两式相加并由已知式得1+1≥2(a1-b2+b1-a2)=2.上式等号成立，当且仅当a=1-b2且b=1-a2，即a2+b2=1.
例9 求方程组x+y+z=3,①
x2+y2+z2=3,②
x5+y5+z5=3③的所有实数解.(第2届美国数学奥林匹克试题)
解析：由①、②发掘不等关系：x2+1≥2x,y2+1≥2y,z2+1≥2z.三式相加并由①、②得3+3=(x2+y2+z2)+3≥2(x+y+z)=2×3，上式等号成立，当且仅当x=y=z=1.此为方程①、②的唯一一组解.它也适合方程③，故为原方程组的唯一解.
例10 解方程组4x21+4x2=y,①
4y21+4y2=z,②
4z21+4z2=x.③
(1997年陕西省数学竞赛试题)
解析：易知x≥0,y≥0,z≥0,且x=y=z=0是一组解.又4x2+1≥4x,4y2+1≥4y,4z2+1≥4z.由此及①+②+③得x+y+z=4x21+4x2+4y21+4y2+4z21+4z2≤4x2x+4y24y+4z24z=x+y+z.上式等号成立，当且仅当x=y=z=12.经检验，原方程组的解为(0，0，0)、(12，12，12).
例11 方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解为 .(2006年全国高中数学联赛试题)
解析：易知x>0,原方程可化为(x+1x2005)(1+x2+x4+…+x2004)=2006,即x+x3+x5+…+x2005+1x2005+1x2003+1x2001+…+1x3+1x=2006,则2006=(x+1x)+(x3+1x3)+…+(x2005+1x2005)≥┆2+2+…+21003个2=2006.上式等式成立，当且仅当x=1x,x3=1x3,…x2005=1x2005，即x=1.
五、从函数中发掘不等关系
对于几个结构相同的式子或等式，可考虑构造函数，利用函数的单调性发掘不等关系，寻求突破.
如上述例10，可以用此法求解.
解析：易知x≥0,y≥0,z≥0，且x=y=z=0是一组解.由三个方程左边的结构相同构造函数f(t)=4t21+4t2，即f(t)=41t2+4，则原方程组为f(x)=y,
f(y)=z,
f(z)=x.(*)易知t>0时f(t)单调递增.若x>y,由(*)知，f(z)>f(x)，则z>x.又由(*)知f(y)>f(z)，则y>z,从而y>x,矛盾.故x>y不成立，同理y>x不成立，从而x=y.代入①可得x=y=12,同理可得z=12.经检验，原方程组的解为(0，0，0)，(12，12，12).
由上观之，发掘等式中的不等关系，用“不等”助“相等”，为解(证)相等问题提供了一种重要方法.这不仅拓宽了解题思路，提高了解题质量，同时有利于提高学生对相等与不等对立统一关系的认识，有利于培养学生辨证思维能力和思维的灵活性.
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